函数有啥我有啥,说说数列的周期。

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数列递推公式

我们都知道,

数列的给出有三种方式,

穷举、通项和递推。

做多了数列就感觉,

穷举单纯的是不是一个笑话?

见过一项一项给出项来的么!

通项又太直接了,

给了通项,

总感觉对你的考验,

缺少了点什么……

所以,

数列的递推公式,

成了每个学数列的孩子,

怎么也绕不过的坎。

其实,

递推公式,

我们说的实在太多了,

连高观点下的,

“不动点”和“特征根”,

也都早早被我们拿下。

那数列递推,

还能剩下啥?

想了想,

便也只有周期了

……

周期数列

对于一个数列{an},如果存在一个常数T,

对于任意正整数n>N,恒有an+T=an,

则称数列{an}是从第n项起的周期数列。

T的最小值为最小正周期,简称周期。

①若N=1,称{an}为纯周期数列;

②若N>2,称{an}为混周期数列。

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和等差数列相对应的,

就是最常见的,

等和型递推式了,

这也是较为常见的,

摆动数列的递推式。

只是连续k项之和为定值,

其实可能很多的同学,

并不会想的太多。

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上述结论看起来可能不太舒服的,

但其实,

意思还是挺清晰。

简单可以这样说:

若一个数列任意连续k项之和为定值,

则该数列为周期数列,

且周期T=k.

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与等比数列相对应的,

当然就是等积型了。

也是一个挺好的周期性质,

只是别忘了,

和等差一样,

那个连续多项之积的结论:

若一个数列任意连续k项之积为定值,

则该数列为周期数列,

且周期T=k.

其实,

类似等比的,

还有一个非常好看的结论:

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这个结论,

是不是与“等比中项”

有些相似了呢。

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其实这种,

将等和与等差相联系的式子,

在平时还是挺常见的,

就像是下面的这个题:

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这里直接得到的周期,

可能让很多孩子迷惑不解。

那么有现在这个清楚的结论,

一切又都信手拈来。

所以如果有可能,

希望你也能好好记住,

上面的这组结论:

如果一个数列连续k项之积

与这连续k项之和的比值为定值,

则数列必为周期数列,

且周期T=k.

有了这样清晰的思路,

一切都是水到渠成,

瞬间秒解。

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其实,

看到这个递推式,

很自然地就想起了,

an=an-1+an-2,

斐波那契数列

这个与黄金分割,

无限接近、

近乎完美生活化的数列递推。

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斐波那契数列

我没有象很多人一样,

无聊地绞尽脑汁,

想方设法地求着它的通项公式,

而是更加注重,

中学数学里,

它应用的样子。

就像是那个,

多年来一直萦绕脑海里,

那个“走台阶”的题。

但是现在,

不想告诉你。

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其实很多人可能会都记得,

这种分式递推最高端的,

特征根。

确实的,

我也是一直钟情,

高观点下的那些数学思维。

只是现在想强调的,

如果遇到特征方程无解,

就要考虑周期的特征。

就象下面这个思路,

如果没有周期的感觉稳稳的在心里,

这种思路的推导,

哪里还会那么有底气?

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上面列举了13种周期,

应该都是中学数列常见的。

有了周期,

基本上数列的主要问题,

数列专题就做的很完善了。

希望学习数列的孩子,

有缘翻到“素人素言”,

学习素言的经典。

相关链接:

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posted @ posted @ 21-01-01 07:04  admin  阅读量:

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